О.В. Бабак,
А.С. Гасанов,
С.А. Зуев

Международный научно-учебный центр UNESCO

  • О ВОЗМОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ, ВОССТАНОВЛЕННОЙ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОТЫ ВХОДНЫХ ДАННЫХ

При восстановлении линейной целевой функции, характеризующей некоторый экономический процесс на основе информации, полученной в сжатые сроки, может возникнуть проблема неполноты входных данных. Она заключается в том, что имеет место ситуация, при которой l<(n+1) , где l- длина выборки, а n-число независимых переменных x. Причем удаление определенного числа переменных крайне нежелательно, поскольку оно приводит к снижению аналитических свойств модели. Таким образом, получить интерполяционную или аппроксимирующую линейную модель с помощью наиболее распространенных методов нельзя и, следовательно, постановка задачи об оптимизации ее в качестве целевой функции при известных ограничениях путем линейного программирования полностью отпадает. Между тем, существует эвристический подход [1], основанный на сжатии (редукции) исходной информации в виде некоторой мультипликативной или полиномиальной зависимости, так называемой генеральной обобщенной переменной (ГОП):,

(1)

синтез которой становится возможным при известности направлений составляющих градиента линейной целевой функции, описывающей исследуемый объект отображаемых тем или иным значением величины p=±1.
Если такими знаниями исследователь обладает, а также задана система ограничений, то вопрос построения линейной целевой функции и оптимизации ее при заданной системе ограничений путем линейного программирования в известной мере разрешим. Идея предлагаемого решения такой задачи заключается в следующем.
Пусть задана исходная выборка:

(2)

где y-функция отклика (параметр оптимизации) и  система m- числа ограничений в виде линейных функций от .

(3)

Здесь коэффициенты c- и b- действительные числа, и для общности можно предполагать, что .
Известны пределы изменения переменных
линейной целевой функции , описывающей объект исследований:

(4)

где - неизвестные численные оценки коэффициентов, причем знаки при a, отображаемые p=±1на эвристическом уровне установлены.
С учетом сказанного может быть синтезирована ГОП (1) и исходная выборка трансформирована в последовательность:


,на основе которой нетрудно восстановить одномерную зависимость:

(5)

где и известные численные оценки коэффициентов.
Заметим, что точность восстанавливаемой зависимости (5) может быть существенно увеличена введением преобразования V=v где параметр t принимает любые значения, кроме единицы в пределах 0>t>4 [1].
Однако для постановки значения оптимизации нас будет интересовать целевая функция (4), которая может быть получена на основе мысленного полного факторного эксперимента (МПФЭ) [2]. Сущность такого преобразования заключается в том, что составляется ортогональная матрица планирования полного факторного эксперимента, в которой значения в точках его определяются с помощью зависимости (5).
Таким образом, с помощью линейного программирования может быть решена задача оптимизации, заключающая в определении неотрицательных значений переменных , обращающих в минимум (максимум) целевую функцию (4) и довлетворяющих системе ограничений (3). Поскольку процесс восстановления целевой функции (4) в определенной мере является искусственным, описанная выше процедура точнее может быть названа квазиоптимизацией линейной целевой функции в условиях неполноты входных данных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бабак О.В. Об одном принципе самоорганизации математических моделей // Проблемы управления и информатики. - 2001. - № 2. - С. 98-107.
2. Бабак О.В. Метод линеаризации детерминированных нелинейных математических моделей объектов управления // Проблемы управления и информатики. - 1995. - № 4. - С. 19-26.